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有一段時(shí)間沒使用工程計(jì)算器(scientific calculator)了，但最近不得不用它來進(jìn)行一些與模擬相關(guān)的計(jì)算。當(dāng)然，我也可以用PC或智能型手機(jī)上一些合適的應(yīng)用程序(app)，但總覺得手指按在計(jì)算器才有那種實(shí)質(zhì)的觸感，至少對(duì)我來說是這樣。
我執(zhí)行這項(xiàng)任務(wù)時(shí)所使用的特殊計(jì)算器是德州儀器(TI)開發(fā)的TI-30XA，它大約是在2004年時(shí)購買的。這款TI-30XA是在意大利制造的，我用它來替換掉另一臺(tái)約1993年左右開發(fā)的TI-30X。舊款的TI-30X與新機(jī)型極其類似，但它因?yàn)樵阪I盤軟性互連板內(nèi)導(dǎo)體中出現(xiàn)多處發(fā)絲般的裂縫而「壽終正寢」了。不過，看著好幾代產(chǎn)品演進(jìn)卻幾乎沒什么變化，其實(shí)也挺有趣的。
從網(wǎng)絡(luò)上就可以找到許多專門介紹計(jì)算器的愛好者以及博物館網(wǎng)站；例如，Datamath網(wǎng)站專門介紹TI的計(jì)算器，特別是其針對(duì)大眾市場開發(fā)的工程計(jì)算器(例如我的TI-30X/TI-30XA)。相較于更早期的傳奇惠普(Hewlett-Packard；HP)計(jì)算器HP-35 (1972)和TI SR-50 (1974)專門針對(duì)科學(xué)家、工程師和工程專業(yè)學(xué)生，TI “30”系列主要針對(duì)高中生以及非技術(shù)相關(guān)科系的大學(xué)生。

當(dāng)我使用我的TI-30XA進(jìn)行計(jì)算時(shí)，我發(fā)現(xiàn)它與其前一代產(chǎn)品有一個(gè)很大的不同點(diǎn)：新機(jī)型的小數(shù)點(diǎn)非常小，小到幾乎看不見(圖1)。起初，我覺得很懊惱也很困惑，因?yàn)樾碌挠?jì)算器明明有著更大也更清楚的數(shù)字(好處)，但小數(shù)點(diǎn)竟然幾乎看不見(這我覺得不行)。

圖1：較舊款的TI-30X和較新一代的TI-30XA盡管其出廠年份不同，但外觀非常相似。不過，新款計(jì)算器有著較大的數(shù)字也更清楚易讀，但幾乎看不到小數(shù)點(diǎn)——再仔細(xì)看看兩張圖片上的顯示屏幕，小數(shù)點(diǎn)同樣都位于最左側(cè)的“2”和“8”之間.

然而，我很快地就意識(shí)到必須弄清楚小數(shù)點(diǎn)所在位置應(yīng)該是件好事，至少在某種程度上是這樣。為什么？因?yàn)樗仁刮胰ニ伎硷@示器上的答案是否真的有意義。有幾次它讓我發(fā)現(xiàn)了其實(shí)沒什么意義，因?yàn)槲逸斎肓隋e(cuò)誤的數(shù)字或誤用了某個(gè)公式。畢竟，我很確定不應(yīng)該將1,500Ω的電流檢測(cè)電阻用于1A電流，即使顯示器上的數(shù)字如此呈現(xiàn)了；嗯……也許它真的應(yīng)該是0.0015Ω？
而現(xiàn)實(shí)是，在模擬世界中，要達(dá)到0.1%的準(zhǔn)確度(accuracy)和精度(precision)是一大挑戰(zhàn)，而要達(dá)到0.01%則是更大的挑戰(zhàn)。當(dāng)然，我知道準(zhǔn)確度和精度是不一樣的。0.1和0.01的百分比分別大致相當(dāng)于三位數(shù)和四位數(shù)；而在計(jì)算器上顯示任何額外數(shù)字(與內(nèi)部用于最小化四舍五入/截尾取整的額外數(shù)字不同)都是不必要的，同時(shí)也意味著并不存在精度。
估算答案以及進(jìn)行所謂的「完整性檢查」(sanity check)，二者都算是工程傳統(tǒng)和技能。回到真正的“BC”舊時(shí)代(在工程領(lǐng)域，“BC”是指「在計(jì)算器之前」和「在計(jì)算機(jī)之前」的時(shí)代)，對(duì)于工程師來說，無處不在的計(jì)算工具就是計(jì)算尺(slide rule；圖2)。這種模擬運(yùn)算裝置——有數(shù)百個(gè)網(wǎng)站專門介紹它的歷史、用途和收藏——支持乘法、除法、對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)以及其他特殊功能，但就是不包括加法或減法功能。

圖2：這種高階的計(jì)算尺——上圖是正面，下圖是背面——需要大量的練習(xí)才能正確使用，而且它提供了兩個(gè)甚至三個(gè)有效數(shù)字的結(jié)果。您需要自行設(shè)定小數(shù)點(diǎn)的位置，但在現(xiàn)代電子計(jì)算器器開發(fā)出來，以及計(jì)算尺過時(shí)被淘汰以前，它協(xié)助科學(xué)家和工程師完成了許多任務(wù)。（圖片來源：International Slide Rule Museum）
為了學(xué)習(xí)使用計(jì)算尺并熟練如何使用，需要學(xué)習(xí)的不僅僅是基本的「力學(xué)」(這其實(shí)已經(jīng)相當(dāng)不容易了)，還必須了解方程式和算法、估算答案，并且搞清楚小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該放在哪里，因?yàn)橛?jì)算尺上并不會(huì)為您提供這些信息。這些因素相當(dāng)不利于簡單的「廢料進(jìn)，廢品出」(濫入濫出；GIGO)的計(jì)算方式。
有些人用起來得心應(yīng)手，有的人則不擅長這方面的技巧，但無論如何，它的確迫使每個(gè)人思考并先問「什么才是合理的答案」，以及使用計(jì)算尺進(jìn)行計(jì)算。你可能會(huì)對(duì)于其相對(duì)缺乏精確度和明顯的粗糙度而深感驚訝，但想想多少橋梁的建造、船舶和飛機(jī)的設(shè)計(jì)，以及火箭發(fā)射等等精密任務(wù)，都少不了利用它作為工具。這也是對(duì)于那些工程師和設(shè)計(jì)師的技能和直覺之實(shí)際認(rèn)證。
在此真正要傳達(dá)的信息是，在使用任何技術(shù)(無論是計(jì)算尺、計(jì)算器還是計(jì)算機(jī))進(jìn)行計(jì)算時(shí)，即使是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓こ虒?shí)務(wù)也有賴于于估算答案應(yīng)該是什么。如果存在較大的差異(取決于具體設(shè)計(jì)，可能相差一、兩倍或甚至是一個(gè)數(shù)量級(jí))，最好先暫緩任務(wù)以便找出原因。它很可能是數(shù)據(jù)輸入錯(cuò)誤、應(yīng)用公式錯(cuò)誤，或甚至可能是您所做的一些基本假設(shè)錯(cuò)誤。
您是否曾經(jīng)為了一個(gè)準(zhǔn)確的答案想到「焦頭爛額」，但其實(shí)那個(gè)答案本身也存在大量的錯(cuò)誤？您是否接受精度而忽略了準(zhǔn)確度，或者您憑著自己的工程「直覺」而展開進(jìn)一步調(diào)查？你有沒有見過其他人由于遵循精確的數(shù)字而試圖說服暫停工作，并進(jìn)而重新評(píng)估結(jié)果？